уравнения максвелла подробно

W 2. Сферические волны от точечного источника

Выясняется, что полного вывода мы сделать не можем чересчур сложные математические детали не позволят нам выйти с поля боя без потерь. Но все же мы подойдем к цели до]статочно близко, так что вы легко поймете, как может быть установлена интересующая нас связь. Мы опустим лишь неко]торые математические детали. Математика этой главы может показаться некоторым из вас довольно сложной, и, возможно, вам даже станет скучно следить внимательно за выводом. Но мы все же считаем, что очень важно связать то, что вы учили раньше, с тем, что вы изучаете сейчас, или по крайней мере продемонстрировать, как эта связь может быть установлена. Если вы не забыли прежние главы, то обратите внимание на то, что всякий раз, как мы принимали некоторое высказывание за исходную точку обсуждения, мы заботливо объясняли, является ли это высказывание новым «допущением», т. е. отражает ли оно основной закон природы или же его можно в конечном счете вывести из каких-то других законов. Дух этих лекций обя]зывает нас обсудить связь менаду светом и уравнениями Мак]свелла. Может быть, вам будет кое-где и трудно с этим уж ничего не поделаешь: другого пути не существует.

Теперь нужно попробовать связать эти две вещи. У нас есть уравнения Максвелла и есть формула (21.1) для поля точечного заряда. Естественно спросить, эквивалентны ли они? Если мы сможем вывести (21.1) из уравнений Максвелла, то действи]тельно поймем связь света с электромагнетизмом. Вывод ее и есть главная цель этой главы.

Наконец, в формуле (21.1) имеется еще третье слагаемое вторая производная единичного вектора еr'. Изучая явление света, мы по существу использовали тот факт, что вдали от за]ряда два первых слагаемых убывают как обратный квадрат расстояния и на больших расстояниях оказываются слишком слабыми по сравнению с третьим, которое убывает как 1/r. Поэтому мы сосредоточили наше внимание на последнем сла]гаемом и показали, что оно (опять-таки на больших расстоя]ниях) пропорционально компоненте ускорения заряда, попе]речной к линии зрения. (Кроме того, почти всюду ранее мы рас]сматривали только случай, когда заряды двигались нереляти]вистски. Релятивистские эффекты рассматривались только в гл. 34, вып. 3.)

Второе говорит, что к запаздывающему кулонову полю надо сделать «поправку», равную быстроте изменения запаздываю]щего кулонова поля, умноженной на r'/с, т. е. на само запазды]вание. Этот множитель как бы стремится скомпенсировать за]паздывание в первом. Два первых слагаемых соответствуют вы]числению «запаздывающего кулонова поля» и затем экстрапо]ляции его в будущее, на время r'/с, т. е. как раз к моменту t! Экстраполяция линейна, как если бы мы предположили, что «запаздывающее кулоново поле» будет по-прежнему изменяться со скоростью, рассчитанной для заряда в точке (2'). Если поле меняется медленно, эффект запаздывания почти полностью сводится на нет поправочным слагаемым, и оба слагаемых вмес]те приводят к величине электрического поля, очень близкой к «мгновенному кулонову полю» заряда, находящегося в точ]ке (2).

Но это только первое слагаемое. Остальные напоминают нам, что законы электричества не утверждают, что все поля, оста]ваясь, как и были, статическими, начинают просто запаздывать (а такое утверждение порой приходится слышать). К «запазды]вающему кулонову полю» надо добавить два других слагаемых.

Рассмотрим более детально, что дает полное уравнение (21.1). Вектор еr это единичный вектор, направленный от «запаздывающей» точки (2') к точке (1). Тогда первое слагаемое дает то, чего следовало бы ожидать, если бы заряд в своем «запаздывающем» положении создавал кулоново поле, это можно назвать «запаздывающим кулоновым полем». Электри]ческое поле обратно пропорционально квадрату расстояния и направлено от «запаздывающего» положения заряда (т. е. по вектору еr').

Мы видели также, что если скорость заряда v всегда много меньше с и если рассматриваются только точки, сильно удален]ные от заряда, так что в (21.1) существенно лишь последнее слагаемое, то поля можно также записать в виде

Штрихи здесь напоминают вам, что r' это так называемое «запаздывающее расстояние» от точки (2') к точке (1), а вовсе не теперешнее расстояние между точкой (2) положением за]ряда в момент t и точкой поля (1) (фиг. 21.1). Заметьте, что сейчас по-иному определяется направление единичного век]тора еr. В гл. 28 и 34 (вып. 3) мы уславливались, что r (и, стало быть, еr) будет показывать на источник. Теперь же мы следуем определению, используемому в формулировке закона Кулона, по которому r направлено от заряда [в точке (2)] к точке (1) поля. Единственное отличие в том, что новое r (и еr) противо]положно старому.

Фиг. 21.1. Поля в точке (1) в момент t зависят от того положения (2'), которое заряд q занимал в момент (t r'/с).

Если заряд движется произвольным обра]зом, то электрическое поле, которое существует в некоторой точке, в настоящий момент за]висит только от положения и движения заряда в более ранний момент времени, отстающий на интервал, необходимый для того, чтобы свет, двигаясь со скоростью с, прошел расстояние r' от заряда до точки поля. Иными словами, если вам нужно знать электрическое поле в точке (1) в момент t, вы должны подсчитать положение (2') заряда и его движение в момент (t-r'1с} [где r' расстояние до точки (1)] из положения заряда (2') в момент (t r/с).

[см. гл. 28 (вып. 3), ].

Наше изучение света мы начали с того, что выписали уравнение для электрического поля, создаваемого зарядом, который мог как-то произвольно двигаться. Уравнение имело вид

В предыдущей главе мы видели, что среди решений уравнений Максвелла есть электро]магнитные волны. Свету, радио, рентгеновским лучам и т. д. отвечают электромагнитные волны отличающиеся только длиной волны. Мы уже подробно изучали различные явления, связан]ные со светом. В этой главе мы хотим связать оба вопроса и показать, что уравнения Мак]свелла действительно могли служить основой для изучения свойств света.

W 1. Свет и электромагнитные волны

«Релятивистские явления в излучении»

«Как возникает показатель преломления»; гл. 34 (вып. 3)

Повторить: гл. 28 (вып. 3) «Элект]ромагнитное излучение»; гл. 31 (вып. 3)

Решения уравнений максвелла с токами и зарядами

Решения уравнений максвелла с токами и зарядами | AllPhysics.ru